План лекций на 2-ой семестр
Лекция 1. Линейные пространства. Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств. Линейные пространства геометрических векторов на плоскости и в пространстве; арифметических векторов; многочленов степени не выше n; матриц размером (nхm) и функций, непрерывных на отрезке.
Лекция 2. Линейная зависимость и независимость системы векторов в линейном пространстве. Базис линейного пространства. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Геометрический смысл линейной зависимости и независимости для системы геометрических векторов. Определение базиса и размерности линейного пространства. Теорема о разложении вектора по базису. Координаты вектора. Выражение линейных операций над векторами в координатах
Лекция 3. Переход к новому базису. Матрица перехода. Закон преобразования координат вектора при переходе к другому базису. Матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому.
Лекция 4. Линейные подпространства в линейном пространстве. Определение линейного подпространства. Критерий линейного подпространства. Примеры. Дополнение базиса подпространства до базиса всего пространства.
Лекция 5. Линейные операторы и их матрицы. Действия с линейными операторами. Отображения множеств. Композиция отображений и её свойства. Обратное отображение. Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса.
Лекция 6. Действия с линейными операторами. Обратный оператор. Линейные действия над операторами (умножения на число, сложение и умножение операторов) и их связь с линейными действиями над матрицами. Обратный оператор. Матрица обратного оператора и критерий существования обратного оператора.
Лекция 7. Ядро и образ линейного оператора.
Ядро и образ линейного оператора, их свойства. Критерий обратимости
линейного оператора в терминах его образа и ядра.
Лекция 8. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Линейные операторы простого типа2Lekcija_8.pdf
Лекция 9. Билинейные и квадратичные формы в линейном пространстве. Линейная и билинейная функции в линейном пространстве. Матрица билинейной формы. Квадратичная форма в линейном пространстве. Матрица квадратичной формы. Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.
Лекция 10. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду (метод Лагранжа). Закон инерции квадратичных форм, положительный и отрицательный индекс, ранг. Три инварианта квадратичной формы.
Лекция 11. Знакоопределенные квадратичные формы. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы, их канонический и нормальный вид. Индекс и ранг знакоопределенной квадратичной формы. Критерий Сильвестра.
Лекция 12. Евклидово пространство. Матрица Грама скалярного произведения. Определение евклидова пространства. Евклидово скалярное произведение и его матрица Грама. Неравенство Коши - Буняковского. Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве. Неравенство треугольника. Координатная и векторноматричная запись скалярного произведения. Критерий матрицы Грама. Преобразование матрицы Грама при замене базиса.
Лекция 13. Ортогонализация базиса. Ортонормированный базис. Линейная независимость ортогональной системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базис, запись матрицы Грама скалярного произведения векторов и длин векторов в этих базисах. Теорема Пифагора в евклидовом пространстве. Метод ортогонализации базиса. Алгоритм Грама-Шмидта. 2Lekcija_13.pdf
Лекция 14. Симметричные и ортогональные операторы и их свойства. Симметричные операторы и их свойства. Ортогональные матрицы и их свойства. Понятие ортогонального оператора и его основные свойства. Теорема о действительных корнях характеристического многочлена симметричного линейного оператора. 2Lekcija_14.pptx
Лекция 15. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов симметричного линейного оператора. Построение ортонормированного собственного базиса для симметричного линейного оператора. Приведение квадратичных форм к каноническому виду путем ортогонального преобразования. Приведение уравнений кривых и поверхностей 2-го порядка к каноническому виду.
Лекция 16. Обзорно-консультативная лекция
Предэкзаменационная консультация2Lekcija_2023_konsultacija-1.pdf